Pravděpodobnostní modely (PMO)

3. Sylabus

		UPOZORNĚNÍ Od školního roku 2016/2017 se předmět KMA/PMO vyučuje v upravené podobě pod novou zkratkou KMA/PRM. Tyto staré stránky jsou zde ponechány pouze z archivních důvodů.

Podrobný obsah předmětu.

1. Z teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina a její rozdělení, nezávislost systémů jevů. Podmiňování vzhledem k sigma-algebrám a k náhodným veličinám, podmíněné rozdělení, pravděpodobnosti a hustoty. Náhodný proces a jeho rozdělení, markovský čas.
2. Poissonův proces. Poissonův proces s konstantní intenzitou, rozdělení počtu událostí a dob mezi nimi.
3. Markovské řetězce s diskrétním časem. Markovská vlastnost, řetězec se spočetně stavy. Pravděpodobnosti přechodu a absolutní pravděpodobnosti, Chapmanova-Kolmogorovova rovnost. Homogenní řetězec, výpočet absolutních pravděpodobností (Peronův vzorec). Markovský čas, silně markovská vlastnost, rozdělení doby návratu.
4. Rekurentní jevy. Doba mezi výskyty. Trvalý a přechodný jev, periodický jev, rozdělení počtu výskytů. Vytvořující funkce. Asymptotické chování pravděpodobností výskytu, nulový a nenulový jev. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta pro rekurentní jevy.
5. Klasifikace stavů. Průchody stavy jako rekurentní jevy, stav trvalý, přechodný, periodický, ergodický, limitní pravděpodobnosti. Dosažitelnost stavů, stavy konečného řetězce. Uzávěr, absorpční stav, nerozložitelnost řetězce, rozklad množiny stavů.
6. Pravděpodobnosti absorpce. Pravděpodobnost absorpce uzavřenou třídou stavů a pravděpodobnost setrvání v množině přechodných stavů, řešení soustav pro ně v konečném řetězci a v nerozložitelném řetězci. Absorpční řetězec, střední doba do absorpce.
7. Limitní a stacionární rozdělení. Limitní a stacionární rozdělení, existence, jednoznačnost.
8. Větvící se proces. Větvící se proces. Vytvořující funkce složeného rozdělení. Velikost generací a pravděpodobnost vyhynutí.
9. Markovské řetězce se spojitým časem. Řetězec se spočetně stavy, pravděpodobnosti přechodu, Chapmanovy-Kolmogorovovy rovnice, intenzity přechodu, doba setrvání. Kolmogorovovy diferenciální rovnice a jejich řešení. Poissonův proces. Nerozložitelnost, limitní a stacionární rozdělení.
10. Procesy zrodu a zániku. Obecný proces zrodu a zániku, neexplozivita, stacionární rozdělení, pravděpodobnost vymření. Obecný proces množení, neexplozivita, lineární (Yuleův) proces množení.
11. Řetězce s oceněním Oceněním přechodů u řetězce s diskrétním časem a přechodů a setrvání u řetězce se spojitýn časem. Očekávaný výnos, očekávaný diskontovaný výnos.
12. Řízení řetězce. Řízený řetězec, optimální homogenní řízení a jeho určení (Howardův postup).
13. MCMC. Řetězec se spojitou množinou stavů, stacionárního rozdělení a simulace. Metropolisův, Hastingsův a Gibbsův postup.
14. Martingaly. Martingal, sub- a supermartingal, posloupnost martingalových diferencí. Náhodná procházka. Binomický model teorie arbitrážního oceňování, samofinancovatelné portfolio, martingalová míra, cena odvozeného cenného papíru.
15. Wienerův proces. Wienerův proces, transformace, zákon velkých čísel, trajektorie Wienerova procesu. Markovská a martingalová vlastnost. Blackův-Scholesův model.